Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.
La serie de Taylor de una funciónf de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejosa, es la serie de potencias:
O en forma compacta:
que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n yf(n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia fy(x− a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
CASO DE UNA VARIABLE
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si n ≥ 0 es un entero y 
una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n +1 veces en el intervalo abierto (a, x).
Donde 
denota el factorial de 
, y 
es el resto, término que depende de "x" y es pequeño si x está próximo al punto 
. Existen dos expresiones para 
que se mencionan a continuación:
donde 
y "x", pertenecen a los números reales,"n" a los enteros y 
es un número real entre 
y "x":
Si 
es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones 
, se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto "a" y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función 
tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.
CASO DE VARIAS VARIABLES
El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura 
cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier 
:
Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:
para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores
- ejemplo practico (anexo hipervinculo)
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