4.1.2 Serie Infinita: ejemplos y teoremas

Sea la serie infinita

a. obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales y

Solución

(a) como

b. determine una fórmula para en términos de n.

c. como

Se tiene, mediante fracciones parciales.

Por tanto,

De esta forma, como

Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene:

Si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta ecuación, se verá que los resultados anteriores son correctos.

El método empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica sólo un caso especial. En general, no es posible obtener una expresión de este tipo para s.

1. las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales.

En particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de una sucesión monótona son propiedades equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.

Teorema

Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.

En sí mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se puede utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).

Ejemplo:

Demuestre que la serie es convergente:

Solución:

Se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie

Ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a = 1 y r = :

La serie geométrica con a=1 y r=tiene la suma a/(1-r)=2. En consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor que 2. Observe que cada término de la suma primera es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es,

Esto es cierto porque k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k, que , además del factor 1.

Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a 2. En consecuencia.

De lo anterior, tiene la cota superior 2. Por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada es convergente

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