miércoles, 25 de mayo de 2011

4.4 Radio de Convergencia

Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un valor numérico particular a la variable x, se obtiene una serie que convergirá o divergirá dependiendo del valor de la x.

Vamos a demostrar que para cualquier serie de potencias existe un número finito o infinito r llamado radio de convergencia de la serie tal que si r > 0, entonces para x < r la serie converge y para x > r, la serie diverge. Para x = r, es decir, para x = r y x = −r, la serie converge o diverge. El intervalo abierto ]− r, r[ recibe el nombre de intervalo o círculo de convergencia de la serie de potencias considerada. Si r = ∞, el intervalo de convergencia es toda la recta real. Por el contrario, si r = 0, la serie de potencias converge sólo en el punto x = 0 y, hablando rigurosamente, no hay intervalo de convergencia.

En muchos casos podemos determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias con la ayuda del criterio de convergencia de d’Alembert. A dicho efecto, construimos —en primer lugar— la serie compuesta por los valores absolutos de los términos de la serie, que será una serie de números reales positivos:

Si la serie que acabamos de escribir converge, entonces la serie original será absolutamente convergente. Llamemos al (n+1)-ésimo término de la serie n s. Éste y el siguiente son iguales, respectivamente, a:

Formemos, ahora, la razón entre ambos con el fin de aplicar el criterio de d’Alembert:

Supongamos que el límite cuando n →∞ de esta razón existe y vale l . Es decir que:

Obviamente, si l x < 1, entonces l x < 1 y la serie convergirá. En consecuencia, la serie original (sin los valores absolutos, también será convergente y además será absolutamente convergente. Por el contrario, si L x > 1, entonces l x > 1 y tanto la serie de valores absolutos como la original, divergirán.

Por lo tanto, es el radio de convergencia de una serie de potencias y tenemos que:

Queda una pregunta sin resolver en el caso que r > 0 : ¿Qué sucede en los puntos de frontera del intervalo de convergencia? Es decir, ¿qué sucede cuando x = r o x = −r? Para analizar la convergencia o divergencia en estos puntos, analizaremos las dos series de números reales separadamente.

Ilustremos este particular con un ejemplo sencillo. Tomemos la siguiente serie de potencias:

Aquí los coeficientes n-ésimo y (n+1)-ésimo son:

Luego podemos determinar el radio de convergencia calculando el siguiente límite:

Así pues, la serie en cuestión, converge para valores de la variable x en el intervalo ]−1,1[. Veamos ahora qué sucede en los puntos extremos, es decir, en x = −1 y en x = 1.

En x = 1, obtenemos la serie armónica:

Que diverge. Por el contrario, cuando x = −1, la serie que obtenemos es alternada y converge:

En virtud del criterio de convergencia de Leibniz para series alternadas, sabemos que esta serie converge. Basta con darse cuenta que el límite del valor absoluto del término general tiende a cero:

Utilizaremos este mismo ejemplo para ilustrar el procedimiento de cálculo de la suma de una serie infinita de números reales (en este caso, alternada) a partir de integración y derivación de series de potencias.

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