Hemos visto anteriormente los criterios de convergencia para series de números reales positivos o alternados. Utilizando toda esta riqueza analítica vamos a ocuparnos de investigar el comportamiento de una serie de funciones, en particular, de potencias, cuya convergencia va a depender del valor de la variable x. Es así como podremos introducir el concepto de radio de convergencia R. Dentro del intervalo (-R, R) la serie será convergente, fuera, divergente, y en los puntos de frontera, es decir, en x=-R e y=R, deberemos estudiar las series numéricas asociadas a estos dos puntos para determinar la convergencia o divergencia de la serie de potencias en ellos.
En ella ilustramos la utilidad de las series de potencias para el cálculo de la suma de series numéricas. Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma analítica conozcamos, podemos llegar a una expresión que, por substitución de la variable, corresponda a la serie numérica cuya suma buscamos. De esta forma podemos conseguir determinar la suma numérica indirectamente. Estas operaciones de derivación e integración sólo son posibles dentro del radio de convergencia de las serie de potencias. Aquí radica la importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.
Una serie del tipo:
Ordenada por potencias enteras crecientes de la variable “x” y con coeficientes constantes, 
independientes de x, recibe el nombre de serie de potencias.
A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:
Sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente.
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