jueves, 2 de junio de 2011

Introduccion

A traves de esta pagina pretendemos exponer de manera breve y concisa el contenido de la unidad 4: Series, de la materia de Calculo Integral, como un proyecto de investigacion en equipo del grupo 2B de Calculo Integral del Instituto Tecnologico de Tepic, materia impartida por el Ingeniero Roberto Oramas Bustillos

Indice

Unidad 4: Series
4.1 Definicion de Series
4.1.1 Serie Finita
- ejemplos
4.1.2 Serie Infinita
- ejemplos
4.2 Serie Numerica y Convergencia
4.3 Serie de Potencias
4.4 Radio de Convergencia
4.5 Serie de Taylor
4.6 Representacion de Funciones Mediante Serie de Taylor
- ejemplos
- ejemplo practico 1
- ejemplo practico 2
- ejercicios propuestos
4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor
- ejemplo practico (anexo hipervinculo)

Ejemplos de Integrales mediante Series de Taylor

Ejemplo 1: Evalúe la integral utilizando series

\int e^{x^3}dx

Basandonos en la serie e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} construimos la serie para e^{x^3}

e^{x^3}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}

Lo que nos interesa es el integral, entonces lo que haremos es integrar la serie

\int e^{x^3}dx= \int \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}dx
\int e^{x^3}dx= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)n!}dx

Con ayuda de esta serie ya podemos evaluar una integral definida de la función e^{x^3}


para mas ejemplos con su respectivo desarrollo, se recomienda utilizar este enlace, contiene videos paso a paso de la resolucion de integrales de este tipo http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Series_de_Taylor_y_Maclaurin

miércoles, 1 de junio de 2011

Ejemplo 2 de Serie de Taylor

La función cumple para todo y todo . Tomamos
y deducimos que

para todo . Ahora bien,



luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k+1 y queda



para todo . El mismo razonamiento con la función coseno prueba que



para todo . También se puede obtener derivando el desarrollo de la función seno.

Ejercicios propuestos Serie de Taylor

Ejercicio 1: Aproximación de la función y = ln (1+x)


Ejercicio 2: Sea , para . Desarrollar en serie de potencias de x (centrada en 0). Hallar el radio y el intervalo de convergencia del desarrollo. Hallar

Ejemplo 1 de Serie de Taylor

Exprese $ f(x) = \sqrt{1 + x}$ Como serie de Maclaurin.

Solución: Hallamos las derivadas $ n$-ésimas $ f^{(n)}(x)$:

$ f^{(0)}(x) = (1 + x)^{1/2}$.

$ f^{(1)}(x) = (1/2)(1 + x)^{-1/2}$.

$ \displaystyle f^{(2)}(x) = (-1) \frac{1}{2^2}(1 + x)^{-3/2}$.

$ \displaystyle f^{(3)}(x) = (1) \frac{(1)(3)}{2^3}(1 + x)^{-5/2}$.

$ \displaystyle f^{(4)}(x) = (-1) \frac{(1)(3)(5)}{2^4}(1 + x)^{-7/2}$.

$ \displaystyle f^{(5)}(x) = (1) \frac{(1)(3)(5)(7)}{2^5}(1 + x)^{-9/2}$.

A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para $ f^{(n)}(x)$, en términos de $ n$. ¿Cómo lo hacemos?

En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:

$ \displaystyle f^{(n)}(x) = q_{n} \frac{(1)(3)(5)\cdots (r_{n})}{2^{s_{n}}}(1 + x)^{-t_{n}/2}$.

[por ejemplo, $ q_{4} = -1$, $ r_{4} = 5$, $ s_{4} = 4$ y $ t_{4} = 7$].

A partir de esto es fácil concluir que $ q_{n} = (-1)^n$ y $ s_{n} = n$.

Para hallar $ r_{n}$ y $ t_{n}$ utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de $ n$ y $ r_{n}$:

\begin{displaymath}\begin{array}{lll} n & \longrightarrow & r_{n} \\  \par 2 & \... ...tarrow & 7 \\  \par 5 & \longrightarrow & 9 \\  \par\end{array}\end{displaymath} (1)

Vemos que cuando $ n$ aumenta $ 1$, $ r_{n}$ aumenta $ 2$. De modo que $ r_{n} = 2n + k$. Por ejemplo $ 9 = r_{5} = 2(5) + k = 10 + k$, luego $ k = -1$.

De modo que $ r_{n} = 2n - 1$.

Similarmente por el método de las flechas se puede hallar $ t_{n}$ (hacerlo), y queda $ t_{n} = 2n - 3$.

Resumuiendo, $ \displaystyle f^{(n)}(x) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}(1 + x)^{-(2n - 3)/2}$.

Notamos que el análisis anterior sólo sirve para $ n \leq 2$. Así que:

$ f^{(0)}(0) = 1$.

$ f^{(1)}(0) = 1/2$.

Si $ n \leq 2$, $ \displaystyle f^{(n)}(0) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^{n}(1 + 0)^{-(2n - 3)/2}} = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}$.

[Note que haber hallado $ r_{n}$ no fue en realidad necesario, pero sirve para practicar].

La representación de $ f$ como serie de Maclaurin es:

$\displaystyle f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(0)}(0) x^n}{n!} $

Como $ 0! = 1! = 1$, $ f^{(0)}(0) = 1$ y $ f^{(1)}(0) = 1/2$, tenemos:

$\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (1)(3)(5) \cdots (2n - 1) x^n}{2^n n!} $

Podemos hacer una simplificación notacional: Sabemos por ejemplo que $ 7! = (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)$. Ahora, definimos $ 7(!!): = (7)(5)(3)(1)$, y en general, $ (2n + 1)(!!) := (2n + 1)(2n -1)(2n - 3)\cdots(5)(3)(1)$. Con esto, la respuesta queda:

$\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (2n - 1)(!!) x^n}{2^n n!} $