jueves, 2 de junio de 2011
Introduccion
Indice
4.1 Definicion de Series
4.1.1 Serie Finita
- ejemplos
4.1.2 Serie Infinita
- ejemplos
4.2 Serie Numerica y Convergencia
4.3 Serie de Potencias
4.4 Radio de Convergencia
4.5 Serie de Taylor
4.6 Representacion de Funciones Mediante Serie de Taylor
- ejemplos
- ejemplo practico 1
- ejemplo practico 2
- ejercicios propuestos
4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor
- ejemplo practico (anexo hipervinculo)
Ejemplos de Integrales mediante Series de Taylor
Ejemplo 1: Evalúe la integral utilizando series
Basandonos en la serie construimos la serie para
Lo que nos interesa es el integral, entonces lo que haremos es integrar la serie
Con ayuda de esta serie ya podemos evaluar una integral definida de la función
para mas ejemplos con su respectivo desarrollo, se recomienda utilizar este enlace, contiene videos paso a paso de la resolucion de integrales de este tipo http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Series_de_Taylor_y_Maclaurin
miércoles, 1 de junio de 2011
Ejemplo 2 de Serie de Taylor
y deducimos que
para todo . Ahora bien,
luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k+1 y queda
para todo . El mismo razonamiento con la función coseno prueba que
para todo . También se puede obtener derivando el desarrollo de la función seno.
Ejercicios propuestos Serie de Taylor
Ejercicio 2: Sea , para . Desarrollar en serie de potencias de x (centrada en 0). Hallar el radio y el intervalo de convergencia del desarrollo. Hallar
Ejemplo 1 de Serie de Taylor
Solución: Hallamos las derivadas -ésimas :
.
.
.
.
.
.
A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para , en términos de . ¿Cómo lo hacemos?
En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:
.
[por ejemplo, , , y ].
A partir de esto es fácil concluir que y .
Para hallar y utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de y :
(1) |
Vemos que cuando aumenta , aumenta . De modo que . Por ejemplo , luego .
De modo que .
Similarmente por el método de las flechas se puede hallar (hacerlo), y queda .
Resumuiendo, .
Notamos que el análisis anterior sólo sirve para . Así que:
.
.
Si , .
[Note que haber hallado no fue en realidad necesario, pero sirve para practicar].
La representación de como serie de Maclaurin es:
Como , y , tenemos:
Podemos hacer una simplificación notacional: Sabemos por ejemplo que . Ahora, definimos , y en general, . Con esto, la respuesta queda: