miércoles, 1 de junio de 2011

Ejemplo 1 de Serie de Taylor

Exprese $ f(x) = \sqrt{1 + x}$ Como serie de Maclaurin.

Solución: Hallamos las derivadas $ n$-ésimas $ f^{(n)}(x)$:

$ f^{(0)}(x) = (1 + x)^{1/2}$.

$ f^{(1)}(x) = (1/2)(1 + x)^{-1/2}$.

$ \displaystyle f^{(2)}(x) = (-1) \frac{1}{2^2}(1 + x)^{-3/2}$.

$ \displaystyle f^{(3)}(x) = (1) \frac{(1)(3)}{2^3}(1 + x)^{-5/2}$.

$ \displaystyle f^{(4)}(x) = (-1) \frac{(1)(3)(5)}{2^4}(1 + x)^{-7/2}$.

$ \displaystyle f^{(5)}(x) = (1) \frac{(1)(3)(5)(7)}{2^5}(1 + x)^{-9/2}$.

A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para $ f^{(n)}(x)$, en términos de $ n$. ¿Cómo lo hacemos?

En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:

$ \displaystyle f^{(n)}(x) = q_{n} \frac{(1)(3)(5)\cdots (r_{n})}{2^{s_{n}}}(1 + x)^{-t_{n}/2}$.

[por ejemplo, $ q_{4} = -1$, $ r_{4} = 5$, $ s_{4} = 4$ y $ t_{4} = 7$].

A partir de esto es fácil concluir que $ q_{n} = (-1)^n$ y $ s_{n} = n$.

Para hallar $ r_{n}$ y $ t_{n}$ utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de $ n$ y $ r_{n}$:

\begin{displaymath}\begin{array}{lll} n & \longrightarrow & r_{n} \\ \par 2 & \... ...tarrow & 7 \\ \par 5 & \longrightarrow & 9 \\ \par\end{array}\end{displaymath} (1)

Vemos que cuando $ n$ aumenta $ 1$, $ r_{n}$ aumenta $ 2$. De modo que $ r_{n} = 2n + k$. Por ejemplo $ 9 = r_{5} = 2(5) + k = 10 + k$, luego $ k = -1$.

De modo que $ r_{n} = 2n - 1$.

Similarmente por el método de las flechas se puede hallar $ t_{n}$ (hacerlo), y queda $ t_{n} = 2n - 3$.

Resumuiendo, $ \displaystyle f^{(n)}(x) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}(1 + x)^{-(2n - 3)/2}$.

Notamos que el análisis anterior sólo sirve para $ n \leq 2$. Así que:

$ f^{(0)}(0) = 1$.

$ f^{(1)}(0) = 1/2$.

Si $ n \leq 2$, $ \displaystyle f^{(n)}(0) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^{n}(1 + 0)^{-(2n - 3)/2}} = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}$.

[Note que haber hallado $ r_{n}$ no fue en realidad necesario, pero sirve para practicar].

La representación de $ f$ como serie de Maclaurin es:

$\displaystyle f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(0)}(0) x^n}{n!} $

Como $ 0! = 1! = 1$, $ f^{(0)}(0) = 1$ y $ f^{(1)}(0) = 1/2$, tenemos:

$\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (1)(3)(5) \cdots (2n - 1) x^n}{2^n n!} $

Podemos hacer una simplificación notacional: Sabemos por ejemplo que $ 7! = (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)$. Ahora, definimos $ 7(!!): = (7)(5)(3)(1)$, y en general, $ (2n + 1)(!!) := (2n + 1)(2n -1)(2n - 3)\cdots(5)(3)(1)$. Con esto, la respuesta queda:

$\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (2n - 1)(!!) x^n}{2^n n!} $
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