Unidad 4: Series

jueves, 2 de junio de 2011

Ejemplo 1: Evalúe la integral utilizando series

$\int e^{x^3}dx$

Basandonos en la serie $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}$ construimos la serie para $e^{x^3}$

$e^{x^3}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}$

Lo que nos interesa es el integral, entonces lo que haremos es integrar la serie

$\int e^{x^3}dx= \int \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}dx$

$\int e^{x^3}dx= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)n!}dx$

Con ayuda de esta serie ya podemos evaluar una integral definida de la función $e^{x^3}$

para mas ejemplos con su respectivo desarrollo, se recomienda utilizar este enlace, contiene videos paso a paso de la resolucion de integrales de este tipo http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Series_de_Taylor_y_Maclaurin

miércoles, 1 de junio de 2011

La función

cumple

para todo

y todo

. Tomamos

y deducimos que

para todo

. Ahora bien,

luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k+1 y queda

para todo

. El mismo razonamiento con la función coseno prueba que

para todo

. También se puede obtener derivando el desarrollo de la función seno.