viernes, 27 de mayo de 2011

4.2 Series Numericas y Convergencias

Carácter de una serie.

  • Convergente: Cuando la suma es un número real.
  • Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.
  • Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 +.....+ arn-1 + arn + arn+1

  • |R| < 1 Serie convergente
  • R £ -1 Serie oscilante
  • R ³ 1 Serie divergente

Propiedades generales de las series numéricas

  • å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
  • Si å an es divergente no podemos saber nada.
  • Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

Condición necesaria para la convergencia: Sea : å an

Calculamos :

  • Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema)
  • Si k ¹ 0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo términos positivos

  • Teorema 1: Toda serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.
  • Teorema 2: Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carácter de la serie, ni varía su suma.
Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :
  • Si k < 1 la serie converge (Fin)
  • Si k > 1 la serie diverge (Fin)
  • Si k = 1 no sabemos (Continuar)
  • Funciona con : ( )n , ( )p(n)
Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :
  • Si k < 1 la serie converge (Fin)
  • Si k > 1 la serie diverge (Fin)
  • Si k = 1 no sabemos (Continuar)
  • Funciona con: kn , n ! , Semifactoriales ( 1·3·5 · · · · · (2n+1)).

Criterio de Raabe. Calculamos :

  • Si k < 1 la serie diverge (Fin).
  • Si k > 1 la serie converge (Fin).
  • Si k = 1 no sabemos (Continuar).
  • Funciona cuando el criterio de la raíz o el cociente sale 1
Criterio del Logaritmo. Calculamos :
  • Si k < 1 la serie diverge (Fin).
  • Si k > 1 la serie converge (Fin).
  • Si k = 1 no sabemos (Continuar).

Nota: El logaritmo puede estar en cualquier base.

Criterio de comparación. Sea : å an £ å bn

  • Si å an diverge entonces å bn diverge.
  • Si å bn converge entonces å an converge.

Criterio de comparación por paso al límite.

Buscamos el carácter de å an y sabemos el carácter de å bn. Entonces :

  • Si k ¹ 0 y k ¹ ∞ entonces ambas series tienen el mismo carácter.
  • Si k = 0 y si å bn converge entonces å an converge.
  • Si k = ∞ y si å bn diverge entonces å an diverge.

Series de comparación

  • S. Geométrica : a + a r + a r2 + a r3 + ... + a rn
  • Si |r| < 1 serie convergente
  • Si |r| ³ 1 serie divergente
  • S. Armónica general : 1/(1p)+ 1/(2p) + 1/(3p) +....+1/(np)
  • Si p > 1 serie convergente
  • Si p £ 1 serie divergente

Criterio de Prinsheim : Calculamos :

  • Si a > 1 la serie converge
  • Si a £ 1 la serie diverge

Nota : Criterio de comparación con la serie armónica general camuflado

Convergencia de series con términos cualesquiera

  • Sea: å an . Estudiamos : å |an| y å an
  • Si å |an| converge (sus términos son positivos) decimos que å an converge absolutamente y que, por lo tanto, converge (Fin)
  • Si å |an| diverge entonces puede ocurrir que:
  • å an converge. Se dice que la serie converge condicionalmente.
  • å an diverge. La serie es incondicionalmente divergente.
  • En toda serie absolutamente convergente se puede alterar arbitrariamente el orden de los términos sin que altere su suma.
  • En toda serie es absolutamente convergente que tenga valores positivos y negativos la serie de términos positivos y la serie de términos negativos serán convergentes por separado.

Teorema de Leibniz : una serie alternada es convergente si se cumple las siguientes condiciones :

  • Es monótona decreciente en valores absolutos y
  • El limite en el infinito es 0 (Lim an = 0)

Criterio de Dirichet (Para series alternadas) Dado å an = å bn cn

  • å an converge si se cumplen las siguientes condiciones, de no cumplirse es divergente :
  • Si bn está totalmente acotada y
  • {cn} una sucesión monótona decreciente que convergen en 0

Criterio de Abel. Dado å an = å bn cn, entonces å an converge si :

  • å bn de números reales, converge.
  • {cn} es una sucesión monótona decreciente y acotada.

Operaciones con series

  • Dadas å an y å bn convergentes de sumas a y b respectivamente entonces se verifica que : å an ± bn es también convergente y su suma es : a ± b.
  • Sea la serie å pn formada por :

pn = a1 bn + a2 bn-1 + a3 bn-2 + ..... + an-2 b3 + an-1 b2 + an b1 La serie así definida en la que å an y å bn son convergentes y una al menos es absolutamente convergente, en ese caso la serie å pn es convergente y su suma es a·b.

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miércoles, 25 de mayo de 2011

4.1.1 Serie Finita; ejemplo

Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}

f(1)= 2x1=2

f(2)= 2x2=4

f(3)= 2x3=6

f(4)= 2x4=8

(2,4,6,8)

f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4]

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4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas como Serie de Taylor

Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

La serie de Taylor de una funciónf de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejosa, es la serie de potencias:

O en forma compacta:

que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n yf(n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia fy(x− a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

CASO DE UNA VARIABLE

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si n ≥ 0 es un entero y una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n +1 veces en el intervalo abierto (a, x).

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de "x" y es pequeño si x está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:

donde y "x", pertenecen a los números reales,"n" a los enteros y es un número real entre y "x":

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto "a" y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

CASO DE VARIAS VARIABLES

El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores

- ejemplo practico (anexo hipervinculo)

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4.6 Representacion de Funciones Mediante Serie de Taylor; ejemplos

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables

La función coseno.

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Las dos imágenes de arriba puestas juntas.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

para

y cualquier complejo

Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

Función W de Lambert

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

Varias variables

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:

donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma:

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